[2014년 저현고]

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[1학년 2학기 기말]

[eqn: a>0], [eqn: a!=1]이고, [eqn: root {4} of {a ^{3}} = root {4} of {a sqrt {a ^{k}}}]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? [4.3점]

④

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 11over2]

[eqn: log_2 3 +log_2 sqrt { 8 }+log_2 { 1} over {3 }+log_2 2+log_4 32]의 값은? [4.4점]

①

① [eqn: 5]	② [eqn: 11over2]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 13over2]	⑤ [eqn: 7]

각 항이 실수인 등비수열 [eqn: left{a_ n right}]에서 [eqn: a_1 +a_4 =27], [eqn: a_4 +a_7 =216]를 만족시킬 때, 수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: 5]항까지의 합은? [4.4점]

④

① [eqn: 84]	② [eqn: 87]	③ [eqn: 90]

④ [eqn: 93]	⑤ [eqn: 96]

어느 부부 동반 모임에서 모인 사람끼리 서로 악수를 할 때, 다음 규칙을 따른다고 한다.

[eqn: n]쌍의 부부가 악수하는 횟수를 [eqn: a_n]이라고 할 때, [eqn: a_11]의 값은? [4.4점]

(가) 부부끼리는 악수하지 않는다.

(나) 부부가 아닌 사람끼리는 반드시 악수한다.

③

① [eqn: 180]	② [eqn: 200]	③ [eqn: 220]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 260]

제[eqn: 5]항이 [eqn: 7], 제[eqn: 8]항이 [eqn: 25]인 등차수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여 [eqn: |a_n |]의 값이 최소가 되는 자연수 [eqn: n]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

양수 [eqn: a], [eqn: d]와 실수 [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a AST b= a^b], [eqn: c ODOT `d`=d ^{c}]라 할 때,
[eqn: {3} over {4} ODOT left{ { 9} over {25 }AST left(- { 2} over { 3 }right) right}]의 값은? [4.4점]

④

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 4over3]

④ [eqn: 5over3]	⑤ [eqn: 7over3]

거듭제곱근과 지수법칙에 대하여 옳은 것을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

②

ㄱ. [eqn: root {n} of {(-a) ^{m}}]은 [eqn: (-a) ^{m}]의 음의 [eqn: n]제곱근이다.

(단, [eqn: a>0], [eqn: m], [eqn: n]은 짝수)

ㄴ. [eqn: 3]의 네제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: a],

[eqn: -4]의 [eqn: 5]제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: b]라

할 때, 함수 [eqn: y= {x+b} over {x+a}]의 점근선의 방정식은

[eqn: x=-2], [eqn: y=1]이다.

ㄷ. [eqn: a=-1]일 때, [eqn: a=(a) ^{1} =(a) ^{2times {1} over {2}} =left{(a) ^{2} right} ^{{1} over {2}}]

ㄹ. [eqn: LEFT { LEFT ( {25} over {81} RIGHT ) ^{{3} over {4}} RIGHT } ^{{2} over {3}} cdot LEFT { LEFT ( {5} over {9} RIGHT ) ^{- {4} over {3}} RIGHT } ^{{3} over {2}} = {9} over {5}]

① ㄱ, ㄴ	② ㄴ, ㄹ	③ ㄷ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ

[eqn: f(n)=a ^{{ {1} over {sqrt {n} + sqrt {n+1}} }}]([eqn: a>0], [eqn: a!=1])에 대하여,
[eqn: f(1) TIMES f(2) TIMES f(3) TIMES CDOTS TIMES f(98) TIMES f(99)=a ^{m}]
일 때, 실수 [eqn: m]의 값은? [4.6점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: sum_k=1 ^10 (11-k)cdot2^k]의 값은? [4.7점]

②

① [eqn: 2^11 +12]	② [eqn: 2^12 -24]	③ [eqn: 2^12 +12]

④ [eqn: 2^13 -22]	⑤ [eqn: 2^13 -20]

[eqn: 10<x<1000]일 때, [eqn: log sqrt { x}]와 [eqn: logx^2]의 차가 정수가 되도록 하는 모든 [eqn: x]값의 곱은? [4.7점]

⑤

① [eqn: 10^{ { 14} over { 3} }]	② [eqn: 10 ^{5}]	③ [eqn: 10 ^{{16} over {3}}]

④ [eqn: 10 ^{{17} over {3}}]	⑤ [eqn: 10 ^{6}]

실수 전체의 집합 [eqn: R]에서 [eqn: R]로의 함수 [eqn: f]가 다음 조건을 모두 만족시킨다. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=ax+1]과 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 양수 [eqn: a]의 범위는? [4.8점]

①

(가) [eqn: 0 LEQ x le 2]에서 [eqn: f(x)= sqrt { 2x-x^2}]

(나) [eqn: f(x+2)=f(x)]

① [eqn: { 1} over { 4}<a< { 1} over {2 }]	② [eqn: { 1} over { 4}le a < { 1} over {2 }]

③ [eqn: { 1} over {3 }<a<1]	④ [eqn: { 1} over {3 }le a<1]

⑤ [eqn: a ge { 1} over {3 }]

임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n]의 양의 약수들의 총합을 [eqn: f(n)]이라 하자. 예를 들면, [eqn: f(3)=4], [eqn: f(4)=7]이다. 옳은 것을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.8점]

④

ㄱ. [eqn: f(108)=280]

ㄴ. [eqn: f(n)=n+1]이면 [eqn: n]은 소수이다.

ㄷ. 임의의 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여

[eqn: f(mn)=f(m)f(n)]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

[eqn: log_-x (2x+2 sqrt { 3}y-x^2 -y^2 )]의 값이 존재하도록 하는 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 점 [eqn: (x,```y)]가 나타내는 영역의 넓이는? [4.9점]

②

① [eqn: 4over3 pi -2 sqrt { 3}]	② [eqn: {4} over {3} pi - sqrt {3}]	③ [eqn: {8} over {3} pi -2 sqrt {3}]

④ [eqn: {2} over {3} pi + sqrt {3}]	⑤ [eqn: {4} over {3} pi + sqrt {3}]

공차가 [eqn: d _{1}], [eqn: d _{2}]인 두 등차수열 [eqn: left{a _{n} right], [eqn: left{b _{n} right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}], [eqn: T _{n}]이라 하자.
[eqn: S _{n} T _{n} = {n ^{2} (n ^{2} -1)} over {4}]
일 때, 옳은 것을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [5.0점]

③

ㄱ. [eqn: a _{1} b _{1} =0]

ㄴ. [eqn: d _{1} d _{2} =1]

ㄷ. [eqn: a _{1} !=0]이면 [eqn: a _{n} = {n+1} over {2}]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)= {3 ^{20}} over {2 ^{20}} x-3 ^{20}]에 대하여 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rmO(0,```0)], [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: S=a times10^n]([eqn: 1 le a <10], [eqn: n]은 자연수)로 나타낼 수 있다. [eqn: n]의 값은? (단, [eqn: log2 =0.3010], [eqn: log3=0.4771]로 계산한다.) [5.2점]

②

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

좌표평면 위에 그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 20] 이하의 자연수인 반원이 [eqn: 20]개 있다. [eqn: 1 le k le 19]인 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 반지름의 길이가 [eqn: k]인 반원과 반지름의 길이가 [eqn: k+1]인 반원 사이의 영역을 [eqn: 2k+1] 등분한 다음, 각 부분에 시계 바늘이 도는 방향과 반대방향으로 자연수를 차례대로 나열하였다. 이때, 직선 [eqn: y=x]와 맨 바깥쪽 영역이 만나는 어두운 부분에 들어갈 값은? (단, 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 반원의 내부에는 [eqn: 1]을 나열한다.) [5.2점]

②

① [eqn: 370]	② [eqn: 371]	③ [eqn: 372]

④ [eqn: 373]	⑤ [eqn: 374]

다음을 만족시키는 수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여 [eqn: a_20]의 값은? [5.3점]
[eqn: a_1 =0], [eqn: n^2 a_n+1 =(n+1)^2 a_n +2n+1(n=1,```2,```3,```cdots)]

①

① [eqn: 399]	② [eqn: 400]	③ [eqn: 401]

④ [eqn: 402]	⑤ [eqn: 403]

서술형

[eqn: 2011]년부터 매년 초에 [eqn: 10]만원씩 적립한 다음, [eqn: 2015]년 말에 원금과 이자를 모두 인출하여 [eqn: 2016]년 초에 [eqn: 10]년 만기 정기예금에 이 돈을 모두 예금하였다. [eqn: 2011]년 초부터 [eqn: 2015]년 말까지는 연이율이 [eqn: 4%]이고, [eqn: 2016]년 초부터 [eqn: 2025]년 말까지는 연이율이 [eqn: 6%]일 때, [eqn: 2025]년 말의 원리합계를 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: 1]년 마다 복리로 계산하며, [eqn: 1.04^5 =1.2], [eqn: 1.06^10 =1.8]로 계산한다.) [4.0점]

[eqn: 93만```6천원]

자연수 [eqn: N]에 대하여 [eqn: N]의 약수 중 가장 큰 홀수를 [eqn: G(N)]이라 할 때, 함수 [eqn: F(N)]을 [eqn: F(N)= { N} over {G(N) }]으로 정의한다. 다음 물음에 답하시오. [총 4.0점]

(1) [eqn: 7]

(2) [eqn: 0]

(3) [eqn: 127]

(1) [eqn: log_2 F(2)+log_2 F(4)+log_2 F(6)+log_2 F(8)]의 값을 구하고

그 과정을 서술하시오. [1.0점]

(2) [eqn: log_2 F(1)+log_2 F(3)+log_2 F(5)+log_2 F(7)]의 값을 구하고

그 과정을 서술하시오. [1.0점]

(3) [eqn: sum_n=1 ^128 log_2 F(n)]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[2.0점]

어떤 미생물을 배양기 안에서 배양할 때, 시간 [eqn: t](분)에서의 미생물의 개체 수를 [eqn: N]이라고 하면
[eqn: N= { 10C} over { C+k^-t}] ([eqn: k], [eqn: C]는 양의 상수)
로 나타내어진다. [eqn: 5]분 간격으로 조사한 미생물의 개체 수가 차례로 [eqn: 2], [eqn: 5], [eqn: STAR]일 때, [eqn: STAR] 안에 알맞은 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [6.0점]

[eqn: 8]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2^3^n +1]은 [eqn: 3^n+1]의 배수임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하시오. [6.0점]

1) [eqn: n=1]일 때, [eqn: 9]는 [eqn: 9]의 배수이다.

2) [eqn: n=k]일 때 성립한다고 가정하자.

자연수 [eqn: N]에 대하여 [eqn: 2 ^{3 ^{k}} +1=N cdot3 ^{k+1} )]라 둘 수 있다.

[eqn: 2 ^{3 ^{k+1}} +1=(2 ^{3 ^{k}} ) ^{3} +1# `````````````````````````````=(2 ^{3 ^{k}} +1-1) ^{3} +1# `````````````````````````````=(N CDOT 3 ^{k+1} -1) ^{3} +1# `````````````````````````````=N ^{3} CDOT 3 ^{3k+3} -3N CDOT ^{2} 3 ^{2k+2} +3N CDOT 3 ^{k+1}]

에서 이는 [eqn: 3 ^{k+2}]의 배수임을 확인할 수 있다.

[2014년 저현고]

[1학년 2학기 기말]

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